Плот в канале

ПЛОТ В КАНАЛЕ

Канал шириной 1 сворачивает на 90 градусов. Какой плот
максимальной площади сможет пройти по каналу?
Это очень старая задача. Долгое время она не поддавалась
усилиям видных математиков. Возможно, сейчас ее решение уже найдено.
Тогда просьба его сообщить. В любом случае задача будет интересна
всем, кто раньше ее не видел. И хорошо было бы проследить (или
создать) историю ее решения.
На первый взгляд кажется, что пройти по каналу может только
плот 1х1. На второй взгляд появляется полукруг радиуса 1.
Дж.Хаммерсли в 1968 г. достиг

Pi/2 + 2/Pi = 2.207416

Плот такой площади показан в прилагаемой программе, он ограничен
тремя отрезками и тремя дугами окружности:

Примечательна и сама программа PLOT1.COM объемом менее 0.5 КБ.
Попробуйте сделать меньше! В каждый момент плот касается пяти или
более точек на сторонах канала и имеет только одну степень свободы.
Но это не обеспечивает ему максимальность площади. (Квадратный плот
касается сторон канала еще сильнее.)
Дальнейшие достижения других авторов мне не известны. Моя
идея "развития" плота состоит в "срезании углов". Прежде всего можно
обрезать торчащие края на концах внутренней окружности. От этого,
конечно, увеличится и весь внутренний вырез плота, но зато можно
увеличить его длину.

R - радиус больших дуг, r - радиус малых дуг, R+r=1,
L - расстояние от оси симметрии плота до каждого центра дуг.
Теперь прежняя большая внутренняя дуга разбилась на две маленьких
по краям радиуса r и кривую

x = L cos 2A + r (sin A - cos A)
y = L sin 2A + r (1 - sin A - cos A)

Склеивание кривой и малых дуг происходит при

sin A0 = r/L/2

Площадь считается стандартными методами и выражается в явном виде,
максимальное значение 2.213029 получается при r=0.086, L=0.691.
В начале и в конце поворота построенного плота появляется
вторая степень свободы. В частности, его можно повернуть в канале
так, чтобы точка B вообще не коснулась краев канала. Значит, в
районе точки B плот допускает дальнейшее наращивание в длину.
Однако более существенная добавка площади произойдет, если сразу
нарастить плот до точки C, которая лежит на касательной к большой
дуге под углом A0 к вертикали. Правда, для этого придется сделать
круговой вырез от точки склеивания кривой и малой дуги. Следующий
этап "срезания углов" состоит в закруглении плота в районе точки C.
Здесь не приводятся расчеты из-за их громоздкости, из-за относительно
малых выигрышей в площади и, главное, из-за того, что им не видно
конца. Все же представляется, что окончательное решение не должно
складываться из большого количества разнородных кусков, а должно
описываться небольшим числом плавных кривых. Но каких?
От громоздких формул пришлось перейти к переборам на ЭВМ.
На вход подавались различные функции, задающие внешний контур плота,
в частности, многочлены до 5-й степени. А программа рассчитывала по
точкам выемку в плоту. Для этого плот разрезался 16000 горизонтальными
линиями, а угол поворота делился на 32000 частей, что обеспечивало
точность 0.0001 (на контрольных примерах оклонение по площади плота
не превышало 0.00002). Удалось достичь площади 2.21855, когда правый
край внешнего контура задается тремя дугами окружности с центрами

(0, -0.105), (0.7142, 0.1460), (0.725, 0)

и радиусами

1.624, 0.866, 1.004

соответственно. Склейки при y=0.430 и y=0.975. Результат будет лишь
на 0.0003 хуже, если обойтись без третьей дуги и продлить вторую.
Оперирование четырьмя дугами также не привело к заметному выигрышу
(прибавка осталась в рамках точности вычислений).
Таким образом, максимальный плот имеет площадь более 2.2185.
И представляется весьма вероятным, что она меньше 2.219. Картинка не
приводится, так как она мало отличается от предыдущего варианта, и
различия видны только при значительном увеличении. В частности, там
где ранее плавно стыковались дуги выемки, теперь образутся тупой
угол примерно в 120 градусов. А выход внешнего контура на верхнюю
горизонталь происходит не гладко, а под небольшим углом (причем
это не издержки вычислений).
А какой плот получился у вас? Сколько знаков вы можете
рассчитать?
Невесенко Н.В.
12 ноября 2002 г.