ЗАДАЧИ ФЕРМА
1. Доказать, что площадь целочисленного прямоугольного
треугольника не может быть квадратом целого числа.
Поставлена в замечаниях к "Арифметике" Диофанта, упомянута
в письме к Мерсенну в 1636г. Известно доказательство самого Ферма,
к которому он пришел, по его признанию, "не без трудных и тяжких
размышлений".
2. Доказать, что каждое натуральное число можно представить
в виде суммы не более чем n n-угольных чисел.
Поставлена в письме к Мерсенну в 1636г. Доказательство
найдено Коши в 1815г.
Треугольные числа: 1,3,6,10,... (количество шаров,
уложенных на плоскости в виде треугольника).
Четырехугольные числа: 1,4,10,20,... (количество шаров,
уложенных в пространстве в виде тетраэдра).
n-угольные числа: k + (n-2)k(k-1)/2, k=1,2,3,...
3. Найти три целочисленных прямоугольных треугольника,
площади которых являются сторонами прямоугольного треугольника.
Упомянута в письме к Робервалю в 1636г.
4. Пусть простое число p имеет вид 4n+1. Доказать, что
а) p единственным образом представимо в виде суммы
квадратов двух натуральных чисел,
б) p2 единственным образом представимо в виде суммы
квадратов двух натуральных чисел,
в) p3 двумя способами представимо в виде суммы
квадратов двух натуральных чисел,
г) p4 двумя способами представимо в виде суммы
квадратов двух натуральных чисел,
д) p5 и p6 тремя способами представимы в виде суммы
квадратов двух натуральных чисел,
е) и т.д. до бесконечности.
Поставлена в письме к Мерсенну в 1640г.
Доказательство Ферма только утверждало представимость без
указания самих натуральных чисел. Ферма ставит и задачу для п.а) о
конструктивном нахождении представления, но считает ее слишком
трудной, и остается неясным, владел ли Ферма ее решением.
5. а) Дано натуральное число. Гипотенузой скольких
целочисленных прямоугольных треугольников оно может быть?
б) Найти наименьшее число, которое было бы заданное количество
раз гипотенузой целочисленного прямоугольного треугольника.
Поставлена в письме к Мерсенну в 1640г. и в замечаниях к
"Арифметике" Диофанта.
6. а) Найти натуральное число, которое заданное количество
раз раскладывается на сумму квадратов натуральных чисел.
б) Сколько раз заданное натуральное число представляется
суммой квадратов натуральных чисел?
Поставлена в замечаниях к "Арифметике" Диофанта.
7. Найти натуральное число, которое при добавлении заданного
натурального числа составило бы квадрат целого числа и было бы
гипотенузой заданного количества целочисленных прямоугольных
треугольников.
Поставлена в замечаниях к "Арифметике" Диофанта.
8. Сколькими способами заданное натуральное число можно
представить как разность натуральных чисел, произведение которых
есть квадрат целого числа?
Поставлена в письме к Мерсенну в 1640г.
9. Сколькими способами заданное натуральное число может
быть представлено суммой двух катетов целочисленного прямоугольного
треугольника?
Поставлена в письме к Мерсенну в 1641г.
10. Найти два целочисленных прямоугольных треугольника,
площади которых находятся в заданном отношении.
Поставлена в письме к Френиклю в 1641г. Решение дано самим
Ферма.
11. а) Найти все целочисленные прямоугольные треугольники, у
которых катеты отличаются на единицу. Примеры:
3,4,5; 20,21,29; 119,120,169.
б) Найти целочисленный прямоугольный треугольник, разность
катетов которого равна заданному числу.
Поставлена в письме к Френиклю в 1641г.
Подробнее...
12. Найти целочисленный прямоугольный треугольник, у
которого меньший катет отличается от каждой из двух других сторон
на квадрат целого числа.
Поставлена в письме к Френиклю в 1641г.
13. Найти натуральное число, которое преставляется
n-угольными числами заданное количество раз.
Поставлена в письме к Френиклю в 1641г.
14. Найти заданное количество целочисленных
прямоугольных треугольников одинаковой площади.
Поставлена в письме к Каркави в 1643г.
15. Найти три целочисленных прямоугольных треугольника,
площади которых составляют три стороны целочисленного
прямоугольного треугольника.
Поставлена в письме к Мерсенну в 1643г. и в замечаниях
к "Арифметике" Диофанта. Возможно, что задачу впервые поставил
Сен-Мартен. Есть решение самого Ферма, изложенное в письме к
Мерсенну в 1648г.
16. Найти два целочисленных прямоугольных треугольника,
площади которых находятся в заданном отношении и такие, что
катеты большего треугольника отличаются на единицу.
Поставлена в письме к Мерсенну в 1643г.
17. Найти все целочисленные прямоугольные треугольники,
у которых разность катетов равна семи.
Поставлена в письме к Сен-Мартену в 1643г.
Подробнее...
18. Найти целочисленный прямоугольный треугольник, у
которого гипотенуза является квадратом целого числа и сумма
катетов является квадратом целого числа.
Поставлена в письме к Сен-Мартену в 1643г. Коллеги-
математики посчитали, что автор задачи не знает решения, и
прекратили с ним переписку. Ферма пришлось оправдываться,
но он сообщил только об одном таком треугольнике:
4687298610289, 4565486027761, 1061652293520
(в письме к Мерсенну в 1643г.).
Подробнее...
19. Найти целочисленный прямоугольный треугольник, у
которого квадрат разности катетов минус удвоенный квадрат меньшей
стороны является квадратом целого числа.
Поставлена в замечаниях в "Арифметике" Диофанта. Ферма
приводит простейшее численное решение: 1525, 1517, 156.
20. Найти целочисленный прямоугольный треугольник,
площадь которого сложенная с квадратом суммы катетов дает
квадрат целого числа.
Поставлена в письме к Сен-Мартену в 1643г. Ферма
сообщил только об одном таком треугольнике:
205769, 190281, 78320
(в письме к Мерсенну в 1643г.).
21. Доказать, что каждое простое число вида 3n+1
представляется в виде
x2 + 3y2
где x, y - целые.
Поставлена в письме к Паскалю в 1654г.
22. Доказать, что каждое простое число вида 8n+1 или
8n+3 представляется в виде
x2 + 2y2
где x, y - целые.
Поставлена в письме к Паскалю в 1654г.
23. Найти куб натурального числа, который имеет сумму
делителей равную квадрату целого числа. Пример:
343 = 73 , 1 + 7 + 49 + 343 = 202
Поставлена в "Первом вызове математикам" в 1657г.
24. Найти квадрат целого числа, который имеет сумму
делителей равную кубу целого числа.
Поставлена в "Первом вызове математикам" в 1657г.
25. Дано число, равное сумме кубов положительных
рациональных чисел. Представить его в виде суммы кубов других
положительных рациональных чисел. В частности, разложить
число 28 = 1 + 27 на два других куба.
Поставлена в письме к Дигби в 1657г. Известен метод
Ферма, изложенный им в замечаниях к "Арифметике" Диофанта.
Этот метод не охватывает случай, когда исходные числа равны.
Пример Ферма (по сообщению Ж. де Бильи, с которым
Ферма состоял в переписке):
13 + 23 = 9 =
= (1243617733990094836481 / 609623835676137297449)3 +
+ (487267171714352336560 / 609623835676137297449)3
Подробнее...
26. а) Доказать, что уравнение
x2 + 2 = y3
имеет в натуральных числах только одно решение: x=5, y=3.
б) Доказать, что уравнение
x2 + 4 = y3
имеет в натуральных числах только два решения: x=2, y=2
и x=11, y=5.
Поставлена в письме к Дигби в 1657г. Ферма считал
свои утверждения удивительными и смелыми, но не оставил
доказательств. Доказательства были найдены Л.Эйлером (1770г.).
Подробнее...
27. Пусть простое число имеет вид 8n-1. Доказать,
что 2p представимо суммой трех квадратов целых чисел.
Поставлена в письме к Дигби в 1659г. Ферма сообщил,
что сам не знает доказательства.
28. Пусть p - простые число вида 20n+3 ,
q - простое число вида 20n+7. Доказать, что число pq
представимо в виде
x2 + 5y2
где x, y - целые числа.
Поставлена в письме к Дигби в 1659г. Ферма также
сообщает, что не знает доказательства.
29. Доказать, что никакое треугольное число, кроме 1,
т.е. число вида
n(n+1)/2, n=2,3,...
не может быть четвертой степенью целого числа.
Поставлена в письме к Дигби в 1659г.
30. Найти рациональные числа x, y, z такие, что
x4 - y4 = z3 , x - y = 1 .
Поставлена в замечаниях к "Арифметике" Диофанта.
Известно решение самого Ферма.
31. Дано положительное рациональное число. Найти
четыре положительных рациональных числа, сумма любых двух
из которых при добавлении данного числа составит квадрат
рационального числа
Поставлена в замечаниях к "Арифметике" Диофанта.
32. а) Найти прямоугольный треугольник с рациональными
сторонами, у которого сумма сторон, уменьшенная на площадь
треугольника, равна заданному числу.
б) Найти прямоугольный треугольник с рациональными
сторонами, у которого гипотенуза, уменьшенная на площадь
треугольника, равна заданному числу.
Поставлена в замечаниях к "Арифметике" Диофанта.
33. а) Найти прямоугольный треугольник с рациональными
сторонами, у которого каждый катет, уменьшенный на площадь
треугольника, равен квадрату рационального числа.
б) Найти прямоугольный треугольник с рациональными
сторонами, у которого при вычитании площади как из гипотенузы,
так и из одного катета, получается квадрат рационального числа.
Поставлена в замечаниях к "Арифметике" Диофанта.
Приведенный перечень задач служит популяризации достижений
Ферма и не претендует на полноту и глубину. Сюда не вошло большое
количество задач, связанных с Малой и Большой теоремами Ферма, с
уравнением Пелля, поскольку они уже нашли достаточное освещение в
математической литературе. Ферма решил много задач, поставленных
другими учеными, например, про совершенные и дружественные числа,
выявил немало нюансов и задал новых вопросов. Все это также не
вошло в перечень. Кроме того, вне обзора осталось очень много
задач, которые более громоздки по формулировке, которые вряд ли
имеет смысл рассматривать вне общих методов решения алгебраических
уравнений и о которых Ферма не счел нужным широко оповещать в своих
письмах.
Задачи почерпнуты из писем и заметок Ферма, а точнее, из их
перевода на русский язык:
Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М.,1992г.
Здесь же можно найти ссылки на другие работы вплоть до изданий
трехсотлетней давности. Здесь также приведены решения большинства
задач Ферма. Кроме того, по Большой теореме Ферма (которая как
тень стоит за любым упоминанием имени великого ученого) можно
порекомендовать популярную, но достаточно серьезную брошюру:
М.М.Постников. Теорема Ферма. М.,1978г.
Приведенные здесь формулировки задач не идентичны оригиналам.
В частности, добавлены явные указания видов чисел: где целые, где
натуральные, где рациональные и т.п. В письмах Ферма и в переводах
речь идет обычно просто о "треугольниках", просто о "числах", а о
каких именно, - по-видимому надо было догадываться по смыслу задачи.
Как видно из переписки, недоразумения из-за этого возникали еще в те
давние времена. В оригинале все постановки задач - текстовые. Не потому,
что так нравилось Ферма, а потому, что современная символика еще не
была изобретена, а высшая математика еще не родилась. Здесь также в
основном сохранен текст, потому что он отражает геометрический смысл
и происхождение задач.
Перечень отнюдь не является сигналом к массовому решению задач.
Во-первых, задачи уже решены, или по крайней мере, известны идеи их
решения. Во-вторых, многие из них очень сложны и требуют специальной
подготовки.
С другой стороны, поиск новых путей решения старых задач вовсе
не бесполезен, так как может подсказать ключи ко многим проблемам,
которые до сих пор остаются неприступными.
Вряд ли здесь уместно излагать многостраничные исследования,
но если поступят короткие и оригинальные решения, то о них будет
оповещено. Кроме того, представляют интерес не только исчерпывающие
теоретические решения, но и сопутствующие сведения, которые в век ЭВМ
получить относительно нетрудно, а именно:
- простейшие численные решения,
- оценки количеств решений в тех или иных диапазонах,
- наибольшее явное численное решение.
Разумеется, не надо присылать числа из миллионов знаков, достаточно
указать хотя бы десяток начальных и конечных цифр, а если возможно,
то - простое правило получения числа.
Надо отметить, что даже при известном методе найти численные
решения для некоторых задач - не проще чем построить дом по готовым
чертежам.
Невесенко Н.В.
3 января 2003 г.
© 2003 Suncloud.Ru